![\"bild1.jpg\"](\"http:\/\/www.astrodicticum-simplex.de\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2008\/04\/pict4869.JPG\")
<\/a>So wichtig diese mathematischen Grundlagen auch sind, so trocken sind sie leider auch. Dementsprechend technisch hat auch der heutige Tag begonnen. Antonio Giorgilli<\/strong> (Universit\u00e4t Mailand, Italien) sprach \u00fcber „Kolmogorov and Nekhoroshev theory for the problem of three bodies“ (Kolmogorov- und Nekhoroshev-Theorie f\u00fcr das Dreik\u00f6rperproblem)<\/em>. Kolmogorov hat (gemeinsam mit Arnold und Moser) in den 1950ern das sg. „KAM-Theorem“ aufgestellt. Dieser mathematische Satz stellt die Grundlage der modernen Chaostheorie dar und beschreibt, wie sich ein dynamisches System unter dem Einfluss von St\u00f6rungen verh\u00e4lt und wie stark diese St\u00f6rungen sein k\u00f6nnen, bevor chaotische Zust\u00e4nde auftreten k\u00f6nnen. Giorgilli hat dieses Theorem nun auf die Bewegung von Jupiter und Saturn um die Sonne angewandt und gezeigt, dass deren Bewegung auch f\u00fcr sehr lange Zeiten stabil verl\u00e4uft. Und im Gegensatz zu rein numerischen Simulationen hat er dies mathematisch-analytisch bewiesen<\/em>.<\/p>\nAuch nach der Kaffeepause ging es hochmathematisch weiter. Marko Robnik<\/strong> (Universit\u00e4t Maribor, Slowenien) sprach \u00fcber „Exact analysis of the adiabatic invariante in time-dependet harmonic oscillators“<\/em> und Christos Efthymiopoulos<\/strong> (Akademie der Wissenschaften, Griechenland) \u00fcber „Anistropic Nekhoroshev stability“.<\/em> Beide Themen lassen sich ohne gro\u00dfe Aufwand kaum vern\u00fcnftig erkl\u00e4ren – darum gehe ich gleich weiter zum letzten Vortrag des Vormittags.<\/p>\n m1 und m2 sind die Sterne und m3 ist der Planet der sich senkrecht durch den Massenschwerpunkt entlang der z-Achse bewegt. Nat\u00fcrlich ist es nur schwer vorstellbar, das so ein Planetensystem auch in Wirklichkeit existiert. Das Sitnikov-Problem stellt aber einen exzellenten Spezialfall der allgemeinen Bewegung von drei K\u00f6rpern dar. Mit diesem einfachen Modell lassen sich die Eigenschaften eines chaotischen Systems sehr gut untersuchen – und deswegen wird es auch schon seit Jahrzehnten immer wieder von Wissenschaftlern als Ausgangsmodell f\u00fcr weitere Studien benutzt. Tassos Bountis hat nun in seiner Arbeit untersucht, was passiert, wenn man nicht von 2 Sternen ausgeht, sondern von 3, 4 oder noch mehr. Abh\u00e4ngig von der Anzahl der Sterne, die sich in der Ebene um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt bewegen, \u00e4ndern sich auch die Eigenschaften des dritten K\u00f6rpers. Bountis hat berechnet unter welchen Bedingungen dessen Bewegung chaotisch und wann sie regul\u00e4r verl\u00e4uft. Im „normalen“ Sitnikov-Problem gibt es unendlich viele Bereiche an m\u00f6glichen Anfangsbedingungen, die zu regul\u00e4rer Bewegung f\u00fchren. Sobald aber mehr als 2 Sterne vorhanden sind, gibt es nur noch ein einziges Interval. Er hat ausserdem untersucht, was passiert, wenn sich der dritte K\u00f6rper nicht<\/em> genau \u00fcber dem Schwerpunkt befindet sondern irgendwo anders \u00fcber der Bewegungsebene der Sterne. Das Sitnikov-Problem geh\u00f6rt zu den Problemstellungen, die ich pers\u00f6nlich sehr faszinierend finde – ich denke, ich werde dar\u00fcber mal einen eigenen, ausf\u00fchrlichen Beitrag schreiben m\u00fcssen!<\/p>\n<\/a>Der folgende Vortrag von Maximilliano Guzzo<\/strong> zum Thema „Hyperbolic manifolds supporting Arnold diffusion in dynamical systems“ (Hyperbolische Mannigfaltigkeiten unterst\u00fctzen die Arnold-Diffusion in dynamischen Systemen)<\/em> war leider zu technisch um ihn hier in wenigen S\u00e4tzen zusammenfassen zu k\u00f6nnen. Im Prinzip ging es aber auch hier um die mathematische Behandlung der chaotischen Eigenschaften dynamischer Systeme.<\/p>\n<\/a>Tassos Bountis<\/strong> (Universit\u00e4t Patras, Griechenland) sprach zum Thema „Periodic Orbits, bifurcations and stability in the Sitnikov N-body problem“ (Periodische Bahnen, Birfurkationen und Stabilit\u00e4t im N-K\u00f6rper Sitnikov Problem). <\/em>Das „Sitnikov-Problem“ ist eine sehr originelle und interessante Aufgabenstellung der Himmelsmechanik. In seiner urspr\u00fcnglichen Form besteht es aus 2 gro\u00dfen, gleich schweren K\u00f6rpern (Sternen), die sich auf einer kreisf\u00f6rmigen Bahn um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt bewegen. Ein dritter, kleinerer K\u00f6rper (Planet) bewegt sich nun auf einer Bahn, die um 90 Grad zur Bewegungsebene der Sterne geneigt ist. Die Sterne bewegen sich also in einer Ebene und der Planet bewegt sich entlang einer Linie, die senkrecht durch den Massenmittelpunkt geht, auf und ab. Das folgende Bild zeigt das recht sch\u00f6n.<\/p>\n<\/p>\n<\/a>Natascha Todorovic<\/strong> (Universit\u00e4t Belgrad, Serbien) war die erste Sprecherin nach der Mittagspause. Sie hielt ihren Vortrag zum Thema „Local and Global Diffusion in the Arnold Web of a priori Unstable Systems“<\/em> (Lokale und globale Diffusion im Arnold-Netz eines a priori instabilen Systems)<\/em>. Auch das ist wieder ein sehr kompliziertes Thema das schwer zu beschreiben ist. Das, was hier untersucht wurde ist ein sg. „Mapping“. Ein Mapping ist nichts anderes als eine Abbildungsvorschrift. Wenn z.b. ein Punkt in einer Ebene gegeben ist, sagt einem das Mapping, wie man daraus einen neuen Punkt in der Ebene berechnet. Und dieser Punkt ist dann wieder der Startpunkt f\u00fcr den n\u00e4chsten; usw. Diese Mappings k\u00f6nnen verwendet werden, um die verschiedensten physikalischen Prozesse zu beschreiben. Ausserdem lassen sie sich – im Gegensatz zu den Differentialgleichungen die man sonst f\u00fcr die Beschreibung verwendet – sehr einfach und schnell berechnen. Darum werden sie auch von den Chaostheoretikern so gerne verwendet. Natascha hat nun so ein spezielles Mapping untersucht und dessen Eigenschaften beschrieben. Mit Mappings l\u00e4sst sich die Gesamtheit der verschiedenen Zust\u00e4nde, die ein System annehmen kann sehr anschaulich darstellen und man kann auch die unterschiedlichen chaotischen bzw. regul\u00e4ren Bereiche sch\u00f6n unterscheiden.<\/p>\n